Introducción a la función de Bessel

Las funciones de Bessel, también conocidas como funciones cilíndricas según lo definido por el matemático Daniel Bernoulli y luego generalizado por Friedrich Bessel, son las soluciones de la ecuación diferencial de Bessel de segundo orden conocida como ecuación de Bessel. Las soluciones de estas ecuaciones pueden ser del primer y segundo tipo.

x^2y"+xy'+(x^2-n^2) y=0

Cuando el método de separación de variables se aplica a las ecuaciones de Laplace o al resolver las ecuaciones de propagación de calor y ondas, conducen a ecuaciones diferenciales de Bessel. MATLAB proporciona esta función compleja y avanzada "bessel" y la letra seguida de la palabra clave decide el primer, segundo y tercer tipo de función Bessel.

Tipos de función de Bessel en MATLAB

La solución general de la ecuación diferencial de Bessel tiene dos soluciones linealmente dependientes:

Y= A Jν(x)+B Yν(x)

1. Función de Bessel de primer tipo

Función de Bessel del primer tipo, Jν (x) es finito en x = 0 para todos los valores reales de v. En MATLAB está representado por la palabra clave besselj y sigue la sintaxis siguiente:

  • Y = besselj (nu, z): Esto devuelve la función Bessel del primer tipo para cada elemento en la matriz Z.
  • Y = besselj (nu, Z, escala) : Esto especifica si escalar la función de Bessel exponencialmente. El valor de escala puede ser 0 o 1, si es 0, entonces no se requiere escala y si el valor es 1, entonces tenemos que escalar la salida.
  • Los argumentos de entrada son nu y z, donde nu es el orden de ecuación especificado como un vector, matriz, etc. y es un número real. Z puede ser una matriz vectorial, escalar o multidimensional. Nu y z deben ser del mismo tamaño o uno de ellos es escalar.

2. Función de Bessel de segundo tipo (Yν (x))

También se conoce como función de Weber o Neumann, que es singular en x = 0. En MATLAB, se representa por palabra clave bessely y sigue la sintaxis siguiente:

  • Y = bessely (nu, Z): Esto calcula la función Bessel del segundo tipo Yν (x) para cada elemento en la matriz Z.
  • Y = bessely (nu, Z, scale) : Esto especifica si escalar la función de Bessel exponencialmente. El valor de escala puede ser 0 o 1, si es 0, entonces no se requiere escala y si el valor es 1, entonces tenemos que escalar la salida.
  • Los argumentos de entrada son nu y z, donde nu es el orden de ecuación especificado como un vector, matriz, etc. y es un número real. Z puede ser una matriz vectorial, escalar o multidimensional. Nu y z deben ser del mismo tamaño o uno de ellos es escalar.

3. Función de Bessel del tercer tipo

Está representado por la palabra clave besselh y sigue la sintaxis siguiente:

  • H = besselh (nu, Z) : Esto calcula la función de Hankel para cada elemento en la matriz Z
  • H = besselh (nu, K, Z ): Esto calcula la función Hankel del primer o segundo tipo para cada elemento en la matriz Z donde K puede ser 1 o 2. Si K es 1, entonces calcula la función Bessel del primer tipo y si K es 2, calcula la función Bessel del segundo tipo.
  • H = besselh (nu, K, Z, escala ): Esto especifica si se escala la función de Bessel exponencialmente. El valor de escala puede ser 0 o 1, si es 0, entonces no se requiere escala y si el valor es 1, entonces tenemos que escalar la salida dependiendo del valor de K.

Funciones modificadas de Bessel

1. Función de Bessel modificada del primer tipo

Está representado por la palabra clave besseli y sigue la sintaxis siguiente:

  • I = besseli (nu, Z): Esto calcula la función Bessel modificada de primer tipo I ν ( z ) para cada elemento en la matriz Z.
  • I = besseli (nu, Z, scale): Esto especifica si se escalará la función de Bessel exponencialmente. Si la escala es 0, entonces no se requiere escala y si la escala es 1, entonces la salida necesita ser escalada.
  • Los argumentos de entrada son nu y z, donde nu es el orden de ecuación especificado como un vector, matriz, etc. y es un número real. Z puede ser una matriz vectorial, escalar o multidimensional. Nu y z deben ser del mismo tamaño o uno de ellos es escalar.

2. Función de Bessel modificada del segundo tipo

Está representado por la palabra clave besselk y sigue la sintaxis siguiente:

  • K = besselk (nu, Z): Esto calcula la función Bessel modificada de segundo tipo K ν (z) para cada elemento en la matriz Z.
  • K = besselk (nu, Z, escala): especifica si se escalará la función de Bessel exponencialmente. Si la escala es 0, entonces no se requiere escala y la escala es 1, entonces la salida debe escalarse.
  • Los argumentos de entrada son nu y z, donde nu es el orden de ecuación especificado como un vector, matriz, etc. y es un número real. Z puede ser una matriz vectorial, escalar o multidimensional. Nu y z deben ser del mismo tamaño o uno de ellos es escalar.

Aplicaciones de la función Bessel

A continuación se presentan las diferentes aplicaciones de la función Bessel:

  • Electrónica y procesamiento de señales : se utiliza el filtro Bessel que sigue la función Bessel para preservar una señal en forma de onda dentro de la banda de paso. Esto se usa principalmente en sistemas de cruce de audio. También se utiliza en la síntesis de FM (modulación de frecuencia) para explicar la distribución armónica de una señal de onda sinusoidal modulada por otra señal de onda sinusoidal. La ventana de Kaiser que sigue a la función Bessel se puede utilizar en el procesamiento de señales digitales.
  • Acústica : se utiliza para explicar los diferentes modos de vibración en diferentes membranas acústicas, como un tambor.
  • Explica la solución de la ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas y cilíndricas para una partícula libre.
  • Explica la dinámica de los cuerpos flotantes.
  • Conducción de calor: Se pueden generar ecuaciones de flujo de calor y conducción de calor en un cilindro infinito hueco a partir de la ecuación diferencial de Bessel.

Conclusión

Existen muchas otras aplicaciones que utilizan las funciones de Bessel, como el diseño de micrófonos, el diseño de teléfonos inteligentes, etc. Por lo tanto, es necesario elegir el sistema de coordenadas adecuado y, si tenemos algún problema relacionado con coordenadas cilíndricas o esféricas, la función de Bessel aparece de forma natural.

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Esta es una guía de las funciones de Bessel en MATLAB. Aquí discutimos la introducción y los tipos de funciones de Bessel en MATLAB, modificados junto con las aplicaciones de las funciones de Bessel. También puede consultar nuestros otros artículos sugeridos para obtener más información:

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