Fórmula de distribución geométrica (tabla de contenido)

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¿Qué es la fórmula de distribución geométrica?

En estadística y teoría de la probabilidad, se dice que una variable aleatoria tiene una distribución geométrica solo si su función de densidad de probabilidad se puede expresar como una función de la probabilidad de éxito y el número de ensayos. De hecho, la distribución geométrica ayuda a determinar la probabilidad de la primera aparición de éxito después de un cierto número de pruebas dada la probabilidad de éxito. Si la probabilidad de éxito es 'p', entonces la fórmula para la probabilidad de la primera ocurrencia de éxito después de las pruebas 'k' puede derivarse multiplicando la probabilidad de éxito por uno menos la probabilidad de éxito que se eleva a la potencia de un número de ensayos menos uno. Matemáticamente, la función de densidad de probabilidad se representa como,

P(X=k) = p * (1 – p) (k – 1)

Dónde,

  • p = probabilidad de éxito
  • k = Prueba en la que ocurre el primer éxito

Ejemplos de fórmula de distribución geométrica (con plantilla de Excel)

Tomemos un ejemplo para comprender el cálculo de la distribución geométrica de una mejor manera.

Puede descargar esta plantilla Excel de fórmula de distribución geométrica aquí - Plantilla Excel de fórmula de distribución geométrica

Fórmula de distribución geométrica - Ejemplo # 1

Tomemos el ejemplo de un bateador que no pudo anotar las primeras siete bolas pero golpeó un límite de la octava entrega que enfrentó. Si la probabilidad de que el bateador golpee un límite es 0.25, calcule la probabilidad de que el bateador golpee el primer límite después de ocho bolas.

Solución:

La probabilidad se calcula utilizando la fórmula de distribución geométrica que se proporciona a continuación

P = p * (1 - p) (k - 1)

  • Probabilidad = 0.25 * (1 - 0.25) (8 - 1)
  • Probabilidad = 0.0334

Por lo tanto, hay una probabilidad de 0.0334 de que el bateador llegue al primer límite después de ocho bolas.

Fórmula de distribución geométrica - Ejemplo # 2

Ahora, pasemos a los deportes de fútbol y tomemos el ejemplo de un futbolista que marca un gol con una probabilidad de 0.7 cada vez que consigue el balón para sí mismo. Determine la probabilidad de que el futbolista marque su primer gol después de:

  • 8 intentos
  • 6 intentos
  • 4 intentos
  • 2 intentos

Solución:

8 intentos

La probabilidad se calcula utilizando la fórmula de distribución geométrica que se proporciona a continuación

P = p * (1 - p) (k - 1)

  • Probabilidad = 0.7 * (1 - 0.7) (8 - 1)
  • Probabilidad = 0.00015

6 intentos

La probabilidad se calcula utilizando la fórmula de distribución geométrica que se proporciona a continuación

P = p * (1 - p) (k - 1)

  • Probabilidad = 0.7 * (1 - 0.7) (6 - 1)
  • Probabilidad = 0.0017

4 intentos

La probabilidad se calcula utilizando la fórmula de distribución geométrica que se proporciona a continuación

P = p * (1 - p) (k - 1)

  • Probabilidad = 0.7 * (1 - 0.7) (4 - 1)
  • Probabilidad = 0.0189

2 intentos

La probabilidad se calcula utilizando la fórmula de distribución geométrica que se proporciona a continuación

P = p * (1 - p) (k - 1)

  • Probabilidad = 0.7 * (1 - 0.7) (2 - 1)
  • Probabilidad = 0.21

Por lo tanto, en el ejemplo anterior, se puede ver que la probabilidad del primer éxito disminuye con el aumento en el número de intentos fallidos, es decir, la probabilidad del primer éxito disminuyó de 0.21 después de 2 intentos a 0.00015 después de 8 intentos.

Explicación

La fórmula para la distribución geométrica se deriva mediante los siguientes pasos:

Paso 1: Primero, determine la probabilidad de éxito del evento y se denota con 'p'.

Paso 2: A continuación, por lo tanto, la probabilidad de falla se puede calcular como (1 - p).

Paso 3: A continuación, determine el número de pruebas en las que se registra la primera instancia de éxito o la probabilidad de éxito es igual a uno. El número de ensayos se denota con 'k'.

Paso 4: Finalmente, la fórmula para la probabilidad de un primer éxito después de las pruebas 'k' se puede calcular calculando primero las fallas probables, es decir (1 - p), elevadas al número de intentos fallidos antes del primer éxito, es decir (k - 1), y luego multiplicando el resultado al éxito en el késimo intento como se muestra a continuación.

P (X = k) = p * (1 - p) (k - 1)

Relevancia y usos de la fórmula de distribución geométrica

El concepto de distribución geométrica encuentra aplicación en la determinación de la probabilidad del primer éxito después de un cierto número de intentos. De hecho, el modelo de distribución geométrica es un caso especial de la distribución binomial negativa y es aplicable solo para aquellas secuencias de ensayos independientes donde solo son posibles dos resultados en cada ensayo. Cabe señalar que, según este modelo de distribución, cada aumento en un número de intentos fallidos hay una reducción significativa en la probabilidad del primer éxito. En tales casos, la distribución se puede usar para determinar el número de fallas antes del primer éxito.

Calculadora de fórmula de distribución geométrica

Puede usar la siguiente calculadora de distribución geométrica

pag
k
P (X = k)

P (X = k) = p * (1 - p) (k-1)
= 0 * ( 1-0) (0-1) = 0

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Esta es una guía para la fórmula de distribución geométrica. Aquí discutimos Cómo calcular la distribución geométrica junto con ejemplos prácticos. También proporcionamos una Calculadora de distribución geométrica con plantilla de Excel descargable. También puede consultar los siguientes artículos para obtener más información:

  1. ¿Qué es la fórmula de distribución hipergeométrica?
  2. Ejemplos de fórmula de distribución de Poisson
  3. Fórmula de distribución T (ejemplos con plantilla de Excel)
  4. Calculadora para fórmula de distribución normal estándar

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