Vector Cross Producto Formula - Ejemplos con plantilla de Excel

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Fórmula cruzada de productos vectoriales (tabla de contenido)

  • Fórmula
  • Ejemplos

¿Qué es la fórmula vectorial de productos cruzados?

En álgebra de vectores y matemáticas, el término "producto cruzado de vectores" se refiere a las operaciones binarias entre vectores en la geometría tridimensional. El producto cruzado está representado por un signo cruzado "x" entre los dos vectores y la operación del producto cruzado da como resultado otro vector que es perpendicular al plano que contiene los dos vectores iniciales. La fórmula para el producto cruzado de vectores se puede obtener multiplicando los valores absolutos de los dos vectores y el seno del ángulo entre los dos vectores. Matemáticamente, supongamos que a y b son dos vectores, de modo que a = a 1 i + a 2 j + a 3 k y b = b 1 i + b 2 j + b 3 k, entonces el producto vectorial cruzado se representa como,

ax b = |a| |b| sinθ n

donde θ = ángulo entre a y si

| a | = √ (a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 )

| b | = √ (b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 )

n = vector unitario perpendicular a ambos a y si

Además, el producto cruzado del vector también puede expandirse en sus componentes vectoriales tridimensionales, es decir, i, j y k, que son todos perpendiculares entre sí. La fórmula para el producto vectorial cruzado se representa como,

ax b = i (a 2 b 3 – a 3 b 2 ) + j (a 3 b 1 – a 1 b 3 ) + k (a 1 b 2 – a 2 b 1 )

Ejemplos de fórmulas de productos cruzados de vectores (con plantilla de Excel)

Tomemos un ejemplo para comprender el cálculo del producto vectorial cruzado de una mejor manera.

Puede descargar esta plantilla de Excel Cross Product Formula Excel aquí - Plantilla de Vector Cross Product Formula Excel

Vector Cross Product Formula - Ejemplo # 1

Tomemos el ejemplo de dos vectores. a y b tal que su magnitud escalar es | a | = 5 y | b | = 3, mientras que el ángulo entre los dos vectores es de 30 grados. Calcule el producto vectorial cruzado de los dos vectores.

Solución:

El producto vectorial cruzado de los dos vectores se calcula utilizando la fórmula que se proporciona a continuación

hacha b = | a | | b | sinθ n

  • hacha b = 5 * 3 * sen30 n
  • hacha b = 7.5 norte

Por lo tanto, el producto cruzado del vector de los dos vectores es 7.5.

Vector Cross Product Formula - Ejemplo # 2

Tomemos el ejemplo de dos vectores. a (4, 2, -5) y b (2, -3, 7) tal que a = 4i + 2j - 5k y b = 2i - 3j + 7k. Calcule el producto vectorial cruzado de los dos vectores.

Solución:

El producto vectorial cruzado de los dos vectores se calcula utilizando la fórmula que se proporciona a continuación

hacha b = i (a 2 b 3 - a 3 b 2 ) + j (a 3 b 1 - a 1 b 3 ) + k (a 1 b 2 - a 2 b 1 )

  • hacha b = i (2 * 7 - (-5) * (-3)) + j ((-5) * 2 - 4 * 7) + k (4 * (-3) - 2 * 2)
  • hacha b = -i + ( - 38 j ) + ( - 16 k )

Por lo tanto, el producto vectorial cruzado de los dos vectores (4, 2, -5) y (2, -3, 7) es (-1, -38, -16).

Vector Cross Product Formula - Ejemplo # 3

Tomemos el ejemplo de un paralelogramo cuyos lados adyacentes están definidos por los dos vectores. a (6, 3, 1) y b (3, -1, 5) tal que a = 6i + 3j + 1k y b = 3i - 1j + 5k. Calcular el área del paralelogramo.

Solución:

Ahora, el producto vectorial cruzado de los dos vectores se puede calcular usando la fórmula anterior como,

hacha b = i (a 2 b 3 - a 3 b 2 ) + j (a 3 b 1 - a 1 b 3 ) + k (a 1 b 2 - a 2 b 1 )

  • hacha b = i (3 * 5 - 1 * (-1)) + j (1 * 3 - 6 * 5) + k (6 * (-1) - 3 * 3)
  • hacha b = 16 i + ( - 27 j ) + ( - 15 k )

Ahora, el área del paralelogramo puede obtenerse calculando la magnitud del producto vectorial cruzado como,

  • hacha b | = √ ((16) 2 + (-27) 2 + (-15) 2 )
  • hacha b | = 34, 79

Por lo tanto, el área del paralelogramo es 34.79.

Explicación

La fórmula para el producto vectorial cruzado se puede derivar mediante los siguientes pasos:

Paso 1: en primer lugar, determine el primer vector ay sus componentes vectoriales.

Paso 2: a continuación, determine el segundo vector b y sus componentes vectoriales.

Paso 3: A continuación, determine el ángulo entre el plano de los dos vectores, que se denota con θ .

Paso 4: Finalmente, la fórmula para el producto cruzado de vectores entre vectores a y b puede derivarse multiplicando los valores absolutos de a y b que luego se multiplica con el seno del ángulo (paso 3) entre los dos vectores como se muestra a continuación.

hacha b = | a | | b | sinθ n

Relevancia y usos de la fórmula vectorial de productos cruzados

El concepto de producto cruzado de vectores tiene diversas aplicaciones en el campo de la ingeniería, las matemáticas, la geometría computacional, la física, la programación de computadoras, etc. El concepto subyacente nos ayuda a determinar no solo la magnitud del componente escalar del producto de dos vectores, sino también También proporciona la dirección de la resultante. Además, también se usa para determinar el ángulo entre los planos de los dos vectores. El concepto y las aplicaciones de los productos cruzados de vectores pueden ser muy complejos e interesantes.

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